Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.

Формулировка(Конспект):
Если $||x|| = \sqrt{(x,x)},~F = \mathbb{R},$ то
$$\inf_{P \in E} f||x - \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} e_{k}|| = ||x - P^{*}||$$
где $P^{*} = \sum_{k=1}^{n} c_{k}e_{k},~~~c_{k} = (x, e_{k})$

---

Формулировка(ИИ):
Пусть $\{e_k\}$ — ортонормированная система в вещественном евклидовом пространстве ($F = \mathbb{R}$), $x$ — произвольный вектор.
Тогда выполняется:
$$ \inf_{P \in E} \left\| x - \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} e_{k} \right\| = \left\| x - P^{*} \right\| $$
где $$ P^{*} = \sum_{k=1}^{n} c_{k}e_{k}, \quad c_{k} = (x, e_{k}) $$
($\alpha_k$ — произвольные коэффициенты, $E$ — множество линейных комбинаций $\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k$).

Д-во:
Вычислим квадрат нормы:
$$ \left\| x - \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} e_{k} \right\|^{2} = \left( x - \sum_{k=1}^{n} a_k e_k, \, x - \sum_{k=1}^{n} a_k e_k \right) = $$
$$ = \|x\|^2 - 2\sum_{k=1}^{n} \alpha_k c_k + \sum_{k=1}^{n} \alpha_k^2 $$
(учли ортонормированность $\{e_k\}$: $(e_i, e_j) = \delta_{ij}$).

Добавим и вычтем $\sum_{k=1}^{n} c_k^2$:
$$ = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^{n} c_k^2 + \left( \sum_{k=1}^{n} \alpha_k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} \alpha_k c_k + \sum_{k=1}^{n} c_k^2 \right) = $$
$$ = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^{n} c_k^2 + \sum_{k=1}^{n} (\alpha_k - c_k)^2 \geq \|x\|^2 - \sum_{k=1}^{n} c_k^2 $$

Равенство достигается $\iff \alpha_k = c_k \, \forall k$, то есть при $P = P^{*}$.
Следовательно, $P^{*}$ реализует инфимум. $\square$